Kost iz Ishanga

Na obali jezera u srcu Afrike pronađena je kost duga kao olovka, s komadićem kvarca na vrhu i stotinjak zareza u tri reda. Brojevi zareza u jednom redu daju 11, 13, 17 i 19, sve proste brojeve između deset i dvadeset, a stručnjaci se više od pola stoljeća spore je li to računanje, kalendar ili slučajnost.

Ukratko

  • Kost iz Ishanga mali je koštani predmet s urezanim zarezima, pronađen 1950. na nalazištu Ishango u današnjoj Demokratskoj Republici Kongo i star, prema današnjim procjenama, oko 20.000 godina.
  • Zarezi su složeni u tri stupca, a brojevi u skupinama pokazuju pravilnosti: dva stupca imaju zbroj 60, jedan 48, a jedan se sastoji od prostih brojeva između 10 i 20.
  • Jedni u kosti vide najstariji trag matematičkog razmišljanja ili lunarni kalendar, a drugi upozoravaju da se u nekoliko desetaka zareza uvijek mogu naći neki uzorci.
  • Kost se čuva u Bruxellesu, a rasprava o tome čemu je služila i dalje nije zaključena.

Ishango je malo nalazište na mjestu gdje rijeka Semliki istječe iz jezera Edward, na granici Konga i Ugande, danas u Nacionalnom parku Virunga. U kamenom dobu ondje su živjeli ribari i lovci koji su izrađivali koštane harpune. Među tisućama njihovih ostataka pronađen je predmet o kojem se raspravlja i u arheologiji i u povijesti matematike.

Olovka od kosti

Belgijski geolog Jean de Heinzelin de Braucourt istraživao je obalu jezera 1950., u vrijeme kad je Kongo bio belgijska kolonija. U slojevima naselja ribara, uz kamene alatke, harpune i ljudske ostatke, pronašao je tamnosmeđu, blago zakrivljenu kost dugu desetak centimetara, kako je sam napisao, "veličine olovke". Na jednom kraju bio je učvršćen oštar komadić kvarca, možda za urezivanje. Kost je bila tako dugo obrađivana, stanjivana, strugana i glačana, da se više ne može utvrditi od koje je životinje.

Najzanimljiviji su bili zarezi. Na kosti ih je 168, složenih u tri stupca. U jednom stupcu skupine zareza broje 11, 13, 17 i 19, a zbroj je 60. U drugom su skupine od 11, 21, 19 i 9, pa je zbroj opet 60. U trećem su skupine od 3, 6, 4, 8, 10, 5, 5 i 7, ukupno 48. Neki parovi u trećem stupcu izgledaju kao udvostručenja: tri i šest, četiri i osam, pet i deset.

Prosti brojevi u kamenom dobu

De Heinzelin objavio je nalaz 1962. u časopisu Scientific American. Zaključio je da zarezi nisu nasumični, nego da su "namjerno planirani" i da pokazuju poznavanje aritmetike. Uočio je da prvi stupac čine upravo prosti brojevi između 10 i 20, a da su brojevi drugog stupca blizu 10 i 20, uvećani ili umanjeni za jedan. Harpune s nalazišta usporedio je s onima iz Sudana i Egipta i zapitao se nije li znanje o brojevima iz srca Afrike stiglo do doline Nila.

Američki istraživač Alexander Marshack, koji je mikroskopom proučavao zareze na prapovijesnim predmetima, predložio je 1970-ih drugo tumačenje. Zbrojevi 60 i 48 po njemu odgovaraju broju dana u dvama i otprilike u jednom i pol lunarnom mjesecu, pa bi kost mogla bilježiti mjesečeve mijene kroz šest mjeseci. Spisateljica Claudia Zaslavsky u tome je vidjela mogućnost da je kalendar vodila žena koja je pratila svoj ciklus.

Belgijski fizičar Vladimir Pletser i matematičar Dirk Huylebrouck ponudili su treće tumačenje: kost bi mogla biti pomagalo za računanje u sustavu s bazom 12, s podbazama 3 i 4, nalik prapovijesnom logaritmaru. Huylebrouck je o Ishangu i matematici u Africi napisao i knjigu.

Kada je kost nastala

S dobi kosti također je bilo nesuglasja. Prva procjena smještala ju je otprilike u razdoblje od 9000. do 6500. pr. Kr. Američke arheologinje Alison Brooks i Catherine Smith 1987. objavile su nova datiranja nalazišta, prema kojima su slojevi s kosti stari oko 20.000 godina. Datiranje otežava blizina vulkana, čije su erupcije u tom kraju poremetile udio ugljikovih izotopa, pa procjene i danas nisu jednoznačne.

Gdje prestaje uzorak

Kritičari ne osporavaju da su zarezi namjerni. Osporavaju zaključke izvedene iz njih. Francuski povjesničar matematike Olivier Keller upozorio je na "neodoljivu kušnju matematičke fikcije": u desetak skupina brojeva gotovo uvijek se mogu naći prosti brojevi, zbrojevi i udvostručenja, osobito ako ih tražimo s današnjim znanjem. Za pojam prostog broja treba razumjeti dijeljenje, a pisani tragovi takvog znanja javljaju se tisućama godina kasnije. Neki zarezi na kosti uz to su nejasni, pa različiti autori broje malo drugačije.

Arheologinja Karenleigh Overmann, koja istražuje kako su ljudi počeli brojiti, 2025. napomenula je da je u istom sloju pronađena i druga kost sa zarezima, čiji raspored ne upućuje ni na kakvu matematičku pravilnost. Ona i drugi istraživači smatraju da kost može biti stvarna bilježnica brojanja, ali da je od toga do prostih brojeva i kalendara velik korak.

Kost je danas u Kraljevskom belgijskom institutu za prirodne znanosti u Bruxellesu. Napravljeni su kalupi i preslike, a izvornik se čuva s posebnom pažnjom.

Kronologija

  1. Prije oko 20.000 godina: Ribari i lovci na obali jezera Edward izrađuju kost sa zarezima (prema datiranju iz 1987.).
  2. 1950.: Jean de Heinzelin de Braucourt pronalazi kost na nalazištu Ishango.
  3. 1962.: De Heinzelin u časopisu Scientific American opisuje kost kao trag aritmetičkog znanja.
  4. 1972.: Alexander Marshack kost tumači kao šestomjesečni lunarni kalendar.
  5. 1987.: Alison Brooks i Catherine Smith objavljuju nova datiranja nalazišta.
  6. 1999.: Vladimir Pletser i Dirk Huylebrouck predlažu tumačenje u sustavu s bazom 12.
  7. 2025.: Karenleigh Overmann upozorava na drugu kost iz istog sloja bez matematičkog uzorka.

Ključne osobe

  • Jean de Heinzelin de Braucourt: Belgijski geolog koji je pronašao kost i prvi je protumačio kao trag aritmetike.
  • Alexander Marshack: Američki istraživač prapovijesnih zareza koji je kost protumačio kao lunarni kalendar.
  • Claudia Zaslavsky: Američka autorica knjiga o matematici u Africi.
  • Dirk Huylebrouck: Belgijski matematičar koji istražuje Ishango i povijest matematike u Africi.
  • Olivier Keller: Francuski povjesničar matematike, kritičar matematičkih tumačenja kosti.
  • Karenleigh Overmann: Arheologinja koja istražuje kako su ljudi počeli brojiti.

Što se zna

  1. Kost je 1950. pronašao Jean de Heinzelin de Braucourt na nalazištu Ishango, u slojevima naselja ribara i lovaca.
  2. Duga je desetak centimetara, ima komadić kvarca na jednom kraju i 168 zareza u tri stupca.
  3. Zbrojevi zareza u stupcima iznose 60, 60 i 48.
  4. Prema datiranjima iz 1987. nalazište je staro oko 20.000 godina, a prve su procjene bile znatno mlađe.
  5. U istom sloju pronađena je i druga kost sa zarezima bez očitog matematičkog uzorka.

Što tvrde zagovornici

  • Skupine zareza nisu nasumične: jedan stupac čine baš prosti brojevi između 10 i 20, a dva stupca imaju isti zbroj 60.
  • U trećem stupcu ponavljaju se udvostručenja (3 i 6, 4 i 8, 5 i 10), što upućuje na svjesno računanje.
  • Zbrojevi 60 i 48 dobro odgovaraju broju dana u lunarnim mjesecima, pa kost može biti kalendar.
  • Ljudi koji su izrađivali složene harpune i živjeli od ribolova mogli su imati razloga bilježiti vrijeme i količine.

Što kažu kritičari

  • U malom broju skupina gotovo uvijek se mogu pronaći prosti brojevi i zbrojevi, osobito kad ih tražimo naknadno.
  • Za pojam prostog broja potrebno je razumijevanje dijeljenja, za koje nema drugih tragova iz tog doba.
  • Neki su zarezi nejasni, pa različiti autori broje različito, a o tome ovise i "pravilnosti".
  • Druga kost iz istog sloja nema nikakav matematički uzorak, pa zarezi ne moraju značiti isto na svakom predmetu.

Otvorena pitanja

  • Je li kost bila alat, oznaka vlasništva, ukras ili zapis brojanja?
  • Je li ista osoba urezala sve zareze ili su nastajali postupno?
  • Hoće li nova datiranja nalazišta dati pouzdaniju dob kosti?

Teorije

  • Zarezi pokazuju svjesno računanje, uključujući proste brojeve i udvostručenja
  • Kost je bilježila mjesečeve mijene kroz nekoliko mjeseci
  • Kost je bila zapis brojanja, ali bez naprednih matematičkih ideja koje joj se pripisuju
  • Zarezi su ukras ili posljedica uporabe, a uzorci su slučajni

Povezane priče

Za daljnje istraživanje

Izvori